1 · Zahlen & Rechenoperationen
Klasse 5–6
Grundrechenarten
Summe: 34 + 57 = 91
Differenz: 80 − 35 = 45
Produkt: 6 · 7 = 42
Quotient: 48 ÷ 6 = 8
Reihenfolge: Klammer → Potenz → Punkt → Strich
Beispiel: Berechne 3 + 2 · 4 − 6 ÷ 2
1) Punkt vor Strich: 2·4=8, 6÷2=3
2) Übrig: 3 + 8 − 3
3) Von links nach rechts: 3+8=11, 11−3=8
→ Ergebnis: 8
Klasse 5
Teiler & Vielfache
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, …
ggT = größter gemeinsamer Teiler
kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiel: Bestimme ggT(18,24) und kgV(18,24)
Teiler von 18: 1,2,3,6,9,18
Teiler von 24: 1,2,3,4,6,8,12,24
Gemeinsame Teiler: 1,2,3,6 → ggT=6
kgV = 18·24÷ggT = 432÷6 = 72
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …
Klasse 6
Negative Zahlen (ganze Zahlen)
(+) + (+) = + (−) + (−) = −
(+) · (−) = − (−) · (−) = +
Beispiel: Berechne −3 + 5 − (−4)
−(−4) wird zu +4
−3 + 5 + 4 = 6
Beispiel: −4 · (−2) · 3 = 8 · 3 = 24
Merke: Minus mal Minus = Plus!
Klasse 6–7
Potenzen (einfach)
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
10² = 100 10³ = 1000
Beispiel: Berechne 3² + 2³
3² = 3·3 = 9
2³ = 2·2·2 = 8
9 + 8 = 17
| Potenz | Wert |
|---|---|
| 1² bis 12² | 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 |
| 2³ bis 2⁶ | 8, 16, 32, 64 |
2 · Brüche
Klasse 5–6
Kürzen & Erweitern
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen/multiplizieren
6/9 = 2/3 (kürzen mit 3)
2/3 = 8/12 (erweitern mit 4)
Beispiel: Kürze 24/36 vollständig
ggT(24,36) = 12
24÷12 / 36÷12 = 2/3
→ 24/36 = 2/3
Merke: Der Wert des Bruchs ändert sich nicht!
Klasse 5–6
Addieren & Subtrahieren
Gleicher Nenner: Zähler addieren
2/7 + 3/7 = 5/7
Ungleicher Nenner: erst auf kgV bringen
Beispiel: Berechne 2/3 + 3/4
kgV(3,4) = 12
2/3 = 8/12 3/4 = 9/12
8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12
Klasse 6
Multiplizieren & Dividieren
2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6
Beispiel: Berechne 3/5 ÷ 2/7
Kehrwert von 2/7 ist 7/2
3/5 · 7/2 = 21/10 = 2 1/10
Dividieren = mal dem Kehrwert
Klasse 6
Gemischte Zahlen
2¾ = 2 + 3/4 = 8/4 + 3/4 = 11/4
Rückrechnung: 11 ÷ 4 = 2 Rest 3 → 2¾
Beispiel: Berechne 1½ + 2¼
In Brüche umwandeln: 1½=3/2, 2¼=9/4
3/2 = 6/4 (erweitert)
6/4 + 9/4 = 15/4 = 3¾
3 · Dezimalzahlen
Klasse 5–6
Umrechnen Bruch ↔ Dezimal
| Bruch | Dezimal | Prozent |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
| 1/5 | 0,2 | 20% |
| 1/10 | 0,1 | 10% |
| 1/3 | 0,333… | 33,3% |
Klasse 5–6
Rechnen mit Dezimalzahlen
Addition/Subtraktion: Komma untereinander
3,45 + 1,2 = 3,45 + 1,20 = 4,65
Multiplikation: ohne Komma rechnen, dann Stellen zählen
Beispiel: Berechne 2,3 · 1,4
Ohne Komma: 23 · 14 = 322
2,3 hat 1 Nachkommastelle, 1,4 hat 1 → zusammen 2 Stellen
322 → 3,22
Division: Komma verschieben bis ganzzahlig
Klasse 5
Runden
1–4 → abrunden 5–9 → aufrunden
Beispiel: Runde 3,47 und 3,53 auf Zehntel
3,47 → die 7 ist ≥5 → aufrunden → 3,5
3,53 → die 3 ist <5 → abrunden → 3,5
Beispiel: Runde 2748 auf Hunderter
Stelle nach den Hundertern: 4 (in 2748 ist die Zehnerstelle 4)
4 < 5 → abrunden → 2700
Merke: Die entscheidende Stelle ist die erste wegfallende Ziffer
4 · Prozentrechnung
Klasse 6–7
Die drei Grundformeln
P = G · p
G = P / p
p = P / G
P = Prozentwert | G = Grundwert | p = Prozentsatz als Dezimalzahl (z. B. 20% = 0,2; 7% = 0,07; 125% = 1,25)
Wichtig: p wird in den Formeln immer als Dezimalzahl eingesetzt, NICHT als Prozentzahl! Erst „% in Dezimalzahl" umwandeln, dann rechnen.
Beispiel 1 (Prozentwert): Ein Fahrrad kostet 240 €. Wie viel Rabatt sind 15%?
15% = 0,15
P = G · p = 240 · 0,15
P = 36 €
Beispiel 2 (Grundwert): 18 € entsprechen 12% eines Preises. Wie hoch ist der Preis (Grundwert)?
12% = 0,12
G = P / p = 18 / 0,12
G = 150 €
Beispiel 3 (Prozentsatz): Von 25 Schülern kommen 5 zu Fuß. Wie viel Prozent?
p = P / G = 5 / 25
p = 0,2
0,2 als Prozent: 20%
Klasse 6–7
% in Dezimalzahl umwandeln
| Prozent | Dezimalzahl |
|---|---|
| 1% | 0,01 |
| 10% | 0,1 |
| 25% | 0,25 |
| 50% | 0,5 |
| 75% | 0,75 |
| 100% | 1 |
| 150% | 1,5 |
Trick: Prozentzahl durch 100 teilen = Komma 2 Stellen nach links
Klasse 7–8
Zu- und Abnahme (Faktor-Methode)
Zunahme um p%: neuer Wert = G · (1 + p)
Abnahme um p%: neuer Wert = G · (1 − p)
Beispiel: Ein Artikel kostet 80 €. Der Preis steigt um 15%.
15% = 0,15
Faktor = 1 + 0,15 = 1,15
Neuer Preis = 80 · 1,15 = 92 €
Beispiel: Ein Artikel kostet 200 €. Es gibt 20% Rabatt.
Faktor = 1 − 0,20 = 0,80
Neuer Preis = 200 · 0,80 = 160 €
Klasse 8
Einfache Zinsrechnung
Zinsen Z = K · p · t
K = Kapital | p = Zinssatz als Dezimalzahl | t = Zeit (Jahre)
Beispiel: 500 € werden zu 2% für 3 Jahre angelegt.
2% = 0,02
Z = K · p · t = 500 · 0,02 · 3
Z = 30 €
5 · Größen & Einheiten
Klasse 5–6
Längenmaße
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 cm = 10 mm
Beispiel: Wandle 3,4 km in Meter um
3,4 km · 1000 = 3400 m
Merke: Immer mit 10 multiplizieren oder teilen
Klasse 5–6
Gewicht (Masse) & Zeit
1 t = 1000 kg 1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
1 h = 60 min 1 min = 60 s
1 Tag = 24 h 1 Jahr = 365 Tage
Beispiel: Wandle 2 h 15 min in Minuten um
2 h = 2·60 = 120 min
120 min + 15 min = 135 min
Klasse 6–7
Flächen- und Volumeneinheiten
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²
1 dm² = 100 cm² = 10 000 mm²
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³
1 dm³ = 1 Liter (l) = 1000 ml
Beispiel: Wandle 3,2 m² in cm² um
1 m² = 10 000 cm²
3,2 · 10 000 = 32 000 cm²
Merke: Bei Fläche: ×100 je Stufe | Volumen: ×1000 je Stufe
Klasse 6–7
Geschwindigkeit
v = s / t
s = v · t t = s / v
v = Geschwindigkeit | s = Strecke | t = Zeit
Beispiel: Ein Zug fährt 180 km in 2 Stunden. Geschwindigkeit?
v = s / t = 180 km / 2 h
v = 90 km/h
Trick km/h → m/s: ÷ 3,6
6 · Gleichungen & Terme
Klasse 6–7
Terme vereinfachen
Nur gleiche Variablen zusammenfassen
3x + 5x = 8x
4a + 3b − a = 3a + 3b
Beispiel: Vereinfache 5x + 3y − 2x + 7y
x-Terme: 5x − 2x = 3x
y-Terme: 3y + 7y = 10y
Ergebnis: 3x + 10y
Merke: Äpfel + Äpfel = Äpfel (nicht Birnen!)
Klasse 7
Klammern auflösen
3 · (x + 4) = 3x + 12
2 · (5 − y) = 10 − 2y
−(x + 3) = −x − 3
Beispiel: Löse die Klammer auf: 4·(2x − 3) + 5
4·2x − 4·3 + 5
8x − 12 + 5
= 8x − 7
Merke: Jedes Glied in der Klammer wird multipliziert
Klasse 7–8
Lineare Gleichungen lösen
Ziel: x alleine auf eine Seite bringen
2x + 6 = 14
2x = 14 − 6 = 8 |−6
x = 4 |÷2
Beispiel: Löse 5x − 7 = 23
5x = 23 + 7 = 30 |+7
x = 30 ÷ 5 = 6 |÷5
Probe: 5·6−7=23 ✓
Probe: Ergebnis immer einsetzen und prüfen!
Klasse 8–9
Gleichungen mit Klammern
3(x − 2) = 2x + 1
3x − 6 = 2x + 1
x = 7
Beispiel: Löse 2·(x+3) = x + 9
2x + 6 = x + 9 (Klammer auf)
2x − x = 9 − 6 (x sammeln)
x = 3
Schritte: 1) Klammer auflösen 2) x sammeln 3) lösen 4) Probe
7 · Geometrie – Winkel & Figuren
Klasse 5–6
Winkelarten
| Name | Größe |
|---|---|
| Spitzer Winkel | kleiner als 90° |
| Rechter Winkel | genau 90° |
| Stumpfer Winkel | zwischen 90° und 180° |
| Gestreckter Winkel | genau 180° |
| Vollwinkel | 360° |
Scheitelwinkel: gleich groß | Nebenwinkel: ergänzen zu 180°
Klasse 5–7
Dreieck
α + β + γ = 180°
Beispiel: α=70°, β=55°. Wie groß ist γ?
γ = 180° − 70° − 55°
γ = 55°
| Art | Merkmal |
|---|---|
| Gleichseitig | 3 Seiten gleich, je 60° |
| Gleichschenklig | 2 Seiten gleich, 2 Winkel gleich |
| Rechtwinklig | ein Winkel = 90° |
Klasse 5–7
Viereck
Winkelsumme = 360°
Beispiel: α=100°, β=85°, γ=95°. Wie groß ist δ?
δ = 360° − 100° − 85° − 95°
δ = 80°
| Viereck | Besonderheit |
|---|---|
| Quadrat | alle Seiten gleich, alle 90° |
| Rechteck | alle 90°, gegenüber gleich |
| Parallelogramm | Gegenüber gleich & parallel |
| Raute | alle Seiten gleich |
| Trapez | ein Paar paralleler Seiten |
Klasse 7
Winkel an Parallelen
Bei zwei parallelen Geraden mit Schnittgerade:
F-Winkel (Stufenwinkel) → gleich groß
Z-Winkel (Wechselwinkel) → gleich groß
C-Winkel (Mittelstufenwinkel) → 180°
Beispiel: Ein F-Winkel beträgt 65°. Der entsprechende zweite F-Winkel ist ebenfalls 65° (gleich groß, egal an welcher der zwei Parallelen).
8 · Satz des Pythagoras
Klasse 8–9
Der Satz
Nur im rechtwinkligen Dreieck!
c = Hypotenuse (gegenüber dem 90°-Winkel, längste Seite)
a, b = Katheten
a² + b² = c²
Klasse 8–9
Formeln umstellen
Hypotenuse: c = √(a² + b²)
Kathete: a = √(c² − b²)
Kathete: b = √(c² − a²)
Beispiel 1: a=6 cm, b=8 cm. Berechne c.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10 cm
Beispiel 2: c=13 cm, b=12 cm. Berechne a.
a² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25
a = √25 = 5 cm
Pythagorische Tripel: 3–4–5 | 6–8–10 | 5–12–13
Klasse 8–9
Anwendungen
Diagonale im Rechteck: l=8 cm, b=6 cm
d² = l² + b² = 64 + 36 = 100
d = √100 = 10 cm
Höhe im gleichschenkligen Dreieck: Schenkel a=5 cm, Basis b=6 cm
Halbe Basis = 3 cm
h² = a² − 3² = 25 − 9 = 16
h = √16 = 4 cm
Wichtige Quadratwurzeln: √2≈1,41 | √3≈1,73 | √5≈2,24
9 · Flächenberechnungen
Klasse 5–6
Rechteck & Quadrat
A = a · b U = 2·(a+b)
Quadrat: A = a² U = 4·a
Beispiel: Rechteck mit a=9 cm, b=4 cm
A = 9 · 4 = 36 cm²
U = 2·(9+4) = 2·13 = 26 cm
Klasse 6–7
Dreieck
A = g · h / 2
g = Grundlinie | h = zugehörige Höhe
Beispiel: g=12 cm, h=7 cm
A = 12 · 7 / 2 = 84 / 2
A = 42 cm²
Merke: Dreieck = halbes Parallelogramm
Klasse 6–7
Parallelogramm & Trapez
Parallelogramm: A = g · h
Trapez: A = (a + c) / 2 · h
a, c = parallele Seiten | h = Höhe
Beispiel Trapez: a=10 cm, c=6 cm, h=5 cm
A = (10+6)/2 · 5 = 8 · 5
A = 40 cm²
Klasse 7–8
Kreis
A = π · r²
U = 2 · π · r = π · d
r = Radius | d = Durchmesser | π ≈ 3,14
Beispiel: r = 5 cm
A = π · 5² = 3,14 · 25 = 78,5 cm²
U = 2 · π · 5 = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm
10 · Volumen & Oberfläche
Klasse 5–6
Quader & Würfel
V(Quader) = l · b · h
O(Quader) = 2·(l·b + l·h + b·h)
V(Würfel) = a³ O(Würfel) = 6·a²
Beispiel: Quader 6×4×3 cm
V = 6·4·3 = 72 cm³
O = 2·(6·4 + 6·3 + 4·3) = 2·(24+18+12) = 2·54 = 108 cm²
Klasse 7–8
Zylinder
V = π · r² · h
Mantel M = 2 · π · r · h
O = M + 2 · π · r²
Beispiel: r=4 cm, h=10 cm
V = 3,14 · 4² · 10 = 3,14 · 16 · 10 = 502,4 cm³
Klasse 8–9
Pyramide & Kegel
V(Pyramide) = ⅓ · G · h
V(Kegel) = ⅓ · π · r² · h
Beispiel Pyramide: quadratische Grundfläche a=6 cm, h=9 cm
G = a² = 36 cm²
V = ⅓ · 36 · 9 = ⅓ · 324 = 108 cm³
Merke: Pyramide/Kegel = ⅓ des entsprechenden Prismas/Zylinders
11 · Statistik
Klasse 7–8
Durchschnitt (Mittelwert)
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Summe aller Werte ÷ Anzahl der Werte
Beispiel: Noten 2, 3, 1, 4, 2, 3
Summe = 2+3+1+4+2+3 = 15
x̄ = 15 ÷ 6 = 2,5
Klasse 7–8
Median & Modus
Median = mittlerer Wert (sortiert!)
Modus = häufigster Wert
Beispiel: Werte: 5, 2, 8, 2, 6
Sortiert: 2, 2, 5, 6, 8
Median (mittlerer Wert) = 5
Modus (häufigster Wert) = 2
Gerade Anzahl: Median = Durchschnitt der zwei mittleren Werte
Klasse 7–8
Häufigkeit & Diagramme
rel. Häufigkeit = Anzahl / Gesamtanzahl
Beispiel: 9 von 36 Schülern radeln zur Schule
rel. Häufigkeit = 9/36 = 0,25
als Prozent: 25%
Säulen-/Balkendiagramm: Vergleich von Gruppen
Kreisdiagramm: Anteile (Winkel = p · 360°)
Liniendiagramm: Entwicklung über Zeit
Kreisdiagramm: Anteile (Winkel = p · 360°)
Liniendiagramm: Entwicklung über Zeit
12 · Zuordnungen & Dreisatz
Klasse 6–7
Proportionale Zuordnung
Doppelt so viel → doppelt so teuer
y / x = k (konstant)
y = k · x
Beispiel (Dreisatz): 5 Hefte kosten 7,50 €. Was kosten 8 Hefte?
1 Heft: 7,50 ÷ 5 = 1,50 €
8 Hefte: 1,50 · 8 = 12 €
Klasse 6–7
Antiproportionale Zuordnung
Doppelt so viele Arbeiter → halb so lange
x · y = k (konstant)
Beispiel (Dreisatz): 4 Maurer bauen in 6 Tagen. Wie lange brauchen 3 Maurer?
Gesamtarbeit: k = 4 · 6 = 24
3 Maurer: 24 ÷ 3 = 8 Tage
Erkennen: Mehr → weniger (oder umgekehrt)
Klasse 7–8
Koordinatensystem & Graphen
Proportional: Gerade durch Ursprung (0|0)
Antiproportional: Hyperbel (Kurve)
Steigung m = Δy/Δx = y₂−y₁ / x₂−x₁
Beispiel: Lineare Funktion y = m·x + b mit Punkten (1|5) und (3|9)
m = (9−5)/(3−1) = 4/2 = 2
Bei x=1: 5 = 2·1+b → b=3
Funktion: y = 2x + 3